Слово «алгоритм» происходит от имени учёного Абу Абдаллах Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми. Около 825 года он написал сочинение, в котором впервые дал описание придуманной в Индии позиционной десятичной системы счисления. Арабский оригинал книги не сохранился. Аль-Хорезми сформулировал правила вычислений в новой системе и, вероятно, впервые использовал цифру 0 для обозначения пропущенной позиции в записи числа (её индийское название арабы перевели как as-sifr или просто sifr, отсюда такие слова, как «цифра» и «шифр»). Приблизительно в это же время индийские цифры начали применять и другие арабские учёные. В первой половине XII века книга аль-Хорезми в латинском переводе проникла в Европу. Переводчик, имя которого до нас не дошло, дал ей название Algoritmi de numero Indorum («Алгоритми о счёте индийском»). По-арабски же книга именовалась Китаб аль-джебр валь-мукабала («Краткая книга восполнения и противопоставления»). Из оригинального названия книги происходит слово Алгебра.
Тем не менее, долгое время длились споры о происхождении этого термина. Так, в энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона алгорифм(до революции слово "алгорифм" писалось через фиту. В математике это слово сохранилось: алгорифм Евклида и т.д.) алгоритм производится «от арабского слова Аль-Горетм, то есть корень».
В произведениях эпохи Средневековья упоминался «славный счётчик Аргус». Одни считали его греческим философом, другие - арабским мудрецом и магом, третьи - индийским королём.
В XVII-XVIII веках Лейбниц и Эйлер употребляли термин "алгоритм" для именования способа решения задачи. В Россию слово "алгоритм" проникло намного позже( в словаре В.И. Даля и «Толковом словаре русского языка» Д. Н. Ушакова его нет). Зато слово "алгорифм" упоминается в энциклопедическом словаре братьев Гранат, изданном до революции, и в Большой Советской Энциклопедии. И там, и там оно трактуется одинаково: как правило, по которому выполняется то или иное из четырёх арифметических действий в десятичной системе счисления.
Сегодня термин "алгоритм" обычно связывается с работой вычислительных машин. В «Энциклопедии кибернетики» (1974 г.) в статье «Алгоритм» он уже связывается с реализацией на вычислительных машинах, а в "Советской военной энциклопедии (1976 г.) даже появляется отдельная статья «Алгоритм решения задачи на ЭВМ». Теперь это слово знакомо каждому, встречается в разговорной речи и публичных выступлениях.
Источники:
Алгоритм в Википедии
Биография аль-Хорезми