Теорема синусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
Для произвольного треугольника
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R
где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Видеоурок с доказательством теоремы синусов.
Доказательство теоремы синусов:
Достаточно доказать следующие положения:
a/sinα = 2R
Проведем диаметр BG для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол BCG прямой и угол при вершине G треугольника BCG равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π — α в противном случае. Поскольку sin(π — α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для двух других сторон треугольника получаем:
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R
см. рис.
Источники информации: