Правильное написание: браузер. Именно этот вариант зафиксирован в «Русском орфографическом словаре РАН».
Английское слово browser читается [браузер], и именно эта транскрипция зафиксирована в словарях как норма. Говорить и писать «броузер» — неправильно.
Весьма любопытна история этого слова. В английском языке глагол to browse первоначально означал «объедать молодые побеги» и произошел от старофранцузского brost — «росток, побег». С конца XIX века в американском английском у этого глагола появилось новое значение: «бегло просматривать». В русском языке к нему ближе всего идиома «нахвататься по верхам». Словом browser, соответственно, именовали тех читателей, которые просматривали книгу, что называется, по диагонали.
Со временем слово browse приобрело общий смысл «обозревать, просматривать». А с появлением компьютеров и веб-ресурсов появились и компьютерные программы просмотра (обозреватели) — браузеры.
Источники:
Дополнительно от Генона: