В евклидовой геометрии сумма углов плоского n-угольника равна 180°(n–2). В частности:
- сумма углов треугольника — 180°;
- сумма углов четырехугольника — 360°;
- сумма углов пятиугольника — 540°;
- сумма углов шестиугольника — 720°;
- сумма углов семиугольника — 900°;
- сумма углов восьмиугольника — 1080°.
Доказательство данной теоремы для случая выпуклого n-угольника
В случае n=3 мы имеем дело с треугольником. Сумма углов треугольника всегда равна 180°. В случае n>3 нужно провести из любой вершины многоугольника диагонали ко все несмежным вершинам. Таких диагоналей будет n–3, и они разобью многоугольник на n–2 прилегающих друг к другу треугольников. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n–2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n–2). Теорема доказана.
Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n–2). Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники.
Источники:
Дополнительно на Геноне: