В каких случаях частица "не" пишется отдельно?

Не пишется слитно: 

• Во всех случаях, когда без отрицательной частицы "не" слово не употребляется. Например: невежда, неизбежный, несчастный, негодовать, нездоровиться, несдобровать, недостаёт (в значении «недостаточно»), неможется, нельзя, неужто, нестерпимый, непоколебимый, невредимый.

•  С существительными, если отрицание придаёт слову новое, противоположное значение. Например: неприятель, несчастье, если отрицание придаёт слову, не имеющему этой частицы, значение противопоставления, отрицания, например: неспециалист, немарксист, нерусский, например: разногласия между марксистами и немарксистами; всем неспециалистам доклад понравился; нерусский взглянет без любви на эту бледную, в крови, кнутом иссеченную музу (Некрасов). 

• С полными и краткими прилагательными и с наречиями на -о (-е), если сочетание их с не 
  служит не для отрицания какого-либо понятия, а для выражения нового, противоположного понятия. Например: нездоровый вид (т. е. болезненный), невозможный характер (т. е. тяжелый), море неспокойно (т. е. волнуется), дело нечисто (т. е. подозрительно), приехать немедленно (т. е. сразу, безотлагательно), поступил нехорошо (т. е. плохо). 

• С полными причастиями, при которых нет пояснительных слов. Например: неоконченный (труд), нераспустившийся (цветок), нержавеющая (сталь), нелюбимый (ребёнок), нескрываемая (злоба), несжатая (полоса) (в таких случаях причастие близко к прилагательному); но: не оконченный вовремя труд, не распустившийся из-за холода цветок, не любимый матерью ребёнок, ещё не экзаменовавшиеся студенты (в таких случаях причастие близко по значению к глаголу). 
  Примечание. При пояснительных словах, обозначающих степень качества, не с причастием пишется слитно (в этих случаях причастия с не близки к прилагательному), например: крайне необдуманное решение, совершенно неподходящий пример, но: совершенно не подходящий к правилу пример (не пишется раздельно ввиду наличия пояснительного слова к правилу).

• В местоимениях, когда не от последующего местоимения не отделено предлогом. Например: некто, нечто, некого, нечего (но: не у кого, не к чему, не с кем, не за чем, не за что). В местоименных наречиях, например: некогда, негде, некуда, неоткуда.

• В наречиях незачем (в значении «бесцельно», например: незачем туда идти), нехотя; в предложных сочетаниях несмотря на, невзирая на; в вопросительной частице неужели.

• В глагольной приставке недо-, обозначающей несоответствие требуемой норме,
  например: недовыполнить (выполнить ниже требуемой нормы), недосмотреть (недостаточно, плохо смотреть, упустить что-нибудь), недосыпать (спать меньше нормального). 
  Примечание. От глаголов с приставкой недо- надо отличать глаголы с приставкой
  до-, имеющие впереди себя отрицание не и обозначающие не доведённое до конца действие, например: не дочитать книгу, не допить чай, не досмотреть пьесу.

Не пишется раздельно: 

• При глаголах, в том числе и при деепричастных формах. Например: она не пьёт, не ест, не говорит; не может не видеть; не глядя, не смотря, не спеша. 
  Примечание. Употребительные в просторечии глагольные формы нейдёт, неймёт, неймётся пишутся слитно.

• В причастиях: 
  а) в краткой форме, например: долг не уплачен, дом не достроен, пальто не сшито;
  б) в полной форме, когда при причастии есть пояснительные слова , а также 
  тогда, когда при причастии есть или подразумевается противопоставление. Например: он принёс не законченную работу, а только отдельные наброски.

• При существительных, прилагательных и наречиях, если есть или подразумевается противопоставление. Например: не удача привела нас к успеху, а выдержка и хладнокровие; не смерть страшна — страшна твоя немилость (Пушкин); утро настало не ясное, а туманное; поезд идет не быстро и не медленно (подразумевается: «с какой-то средней скоростью»); не завтра (здесь не может не быть противопоставления). 
  Примечание. Следует обратить внимание на некоторые случаи раздельного написания частицы не. Частица не пишется раздельно:
  а) если при прилагательном, причастии или наречии в качестве пояснительного слова стоит местоимение, начинающееся с ни, например: никому (ни для кого и т. п.) не нужная вещь, никогда не встречающаяся ошибка, никому не выгодно за это браться;
  б) если не входит в состав усилительных отрицаний далеко не, отнюдь не, вовсе не, ничуть не, нисколько не и т. п., предшествующих существительному, прилагательному или наречию, например: он вовсе не приятель нам, далеко не единственное желание, отнюдь не справедливое решение, нисколько не лучший выход, далеко не достаточно.

• При местоимениях и местоименных наречиях. Например: не я, не этот, не иной, не такой, не иначе, не так. 
  Примечание. Философский термин не-я пишется через дефис.

• При усилительных наречиях, а также при предлогах и союзах. Например: не очень, не вполне, не совсем, не из..., не под..., не то... не то. 
  Раздельно пишется выражение не раз, например: Не раз он обвинял себя в излишней осторожности (Фадеев).

• При неизменяемых словах, не образованных от прилагательных и выступающих в предложении в качестве сказуемого. Например: не надо, не прочь, не жаль. 

• При всех словах, пишущихся через дефис. Например: все не торгово-промышленные предприятия; сказано не по-русски; поют не по-старому. 

Источник:

• Правила русского языка —  написания слитные и через дефис (чёрточку). Правописание "не" и "ни".