Бабай — это воображаемое существо, используемое родителями чтобы запугать непослушных детей. Бабай описывается как «маленький старичок с бородой и мешком». Иногда Бабай не описывается вообще; в этом случае дети могут вообразить его в наиболее страшной форме.
Обычно Бабай используется чтобы непослушные дети не вставали с кровати после того, как их уложили спать. В этом случае родители говорят, что Бабай прячется под кроватью, и что он заберет ребенка если тот встанет.
Слово «бабай» произошло, возможно, от тюркского «баба», где означает «почитаемый мужчина», «дедушка».
В «Блатных переводах» Фимы Жиганца слово встречается в пародии на «Евгения Онегина» (1 строфа, 9-10 строчки):
«…Какой же, блин, дешёвый зехер -»
«Мне с бабаём играть в жмурка…»
В авторских комментариях встречаем:
«ЗЕХЕР — уловка, хитрость.»
«БАБАЙ — дедушка, старый человек.»
«ИГРАТЬ В ЖМУРКА (ЖМУРКИ) — ожидать чьей-то смерти.»
В тех же комментариях Фима Жиганец приводит фразу из тюркского: «ё ханэ, бабай» - «тебе конец, дедушка». (Слово «ханэ» перешло в русский жаргон как «хана», то есть «конец», «смерть», «провал») Возможно, отсюда и произошло выражение «ёкарный бабай», использующееся в качестве эвфемизма.
Другие значения
Так как в татарском языке слово «бабай» используется только в значении «дедушка», «старик», то вполне естественно оно стало употребляться в народе (как среди татар, так и среди русских) по отношению к политическому долгожителю Татарстана, президенту республики Минтимеру Шаймиеву. Аналогично, термин «баба» (дед) применялся в народе по отношению к Аслану Абашидзе.
Источник: Википедия