Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника).
У многогранников различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за пределы граней. У многогранников, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.
Подсчет диагоналей
Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).
Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:
N = n·(n – 3)/2,
где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что
- у треугольника — 0 диагоналей
- у прямоугольника — 2 диагонали
- у пятиугольника — 5 диагоналей
- у шестиугольника — 9 диагоналей
- у восьмиугольника — 20 диагоналей
- у 12-угольника — 54 диагонали
- у 24-угольника — 252 диагонали
Количество диагоналей многогранника с числом вершин n легко подсчитать только для случая, когда в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер k. Тогда можно пользоваться формулой:
N = n·(n – k – 1)/2,
которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда можно найти, что
- у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей
- у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные)
- у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)
- у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные)
- у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)
Если в разных вершинах многогранника сходится разное число ребер, подсчет заметно усложняется и должен проводится индивидуально для каждого случая.
Фигуры с равными диагоналями
На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой. Это квадрат и правильный пятиугольник. У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).
Единственный правильный многогранник, у которого все диагонали равны между собой — правильный восьмигранник октаэдр. У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).
Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой. Это куб (гексаэдр). У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол между дигоналями куба состаляет либо arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos(–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).
Ссылки:
Дополнительно в базе данных Генона: