Каков смысл знака "тождественно равно"?

Тождественность в математике является частным случаем общего философского понятия тождественности.

Тождественным оборажением называется функция, которая любому значению своего аргумента ставит в соответствие это же самое значение (отображает на себя).

Тождественными выражениями называют алгебраические выражения, которые при любых значениях входящих в них переменных приобретают одинаковое значение. Например, тождественны выражения x·x и x², т.к. они равны между собой при любых значениях x. Соответственно, тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных: x·x = x².

Когда надо подчеркнуть тождественность выражений в отличие от их равенства, используется математический знак «тождественно равно»: ≡.

• Запись f(x) = g(x)+1 может рассматриваться как уравнение относительно x, которое надо решить, т.е. определить те значения x, при которых данная запись превращается в истинное равенство.
• Запись f(x) ≡ g(x)+1 — это утверждение, что функции f(x) и g(x)+1 совпадают при всех значениях x, т.е., фактически, это определение функции f(x) через функцию g(x).

Тождественным преобразованием в алгебре называется любая замена алгебраического выражения другим тождественным выражением. Значения получаемых при тождественных преобразованиях выражений совпадают при всех значениях входящих в них переменных, однако алгебраическая форма записи выражений может значительно различаться. Целью тождественных преобразований обычно является приведение выражения к такой форме, в которой упрощается решение поставленной задачи.

Например, если стоит задача узнать, при каких значениях x выраженние x² − 2x + 1 обращается в нуль, достаточно заметить, что данное выражение тождественно (x − 1)². Сразу становится ясно, что ответ будет x=1, что было совершенно неочевидно в исходной записи.

Важно знать, что тождественное преобразование должно сохранять не только значение выражения при любом значении переменных, но и его область определения. Например, часто применяемая операция сокращения алгебраической дроби несет опасность изменения области определения, если сокращаемое подвыражение при некоторых значениях переменных обращается в нуль. Например:

(x² + 2x + 1) / (x − 1) ≡ ( x + 1) ( x − 1) / (x − 1).

Кажется, что теперь можно сократить дробь на  (x − 1):

( x + 1) ( x − 1) / (x − 1) => (x + 1),

но такое преобразование не будет тождественным. Дело в том, что подвыражение (x − 1) обращается в нуль при x=1. При этом эначении x исходное выражение не имеет смысла, т.е. точка x=1 не входит в область определения исходного выражения. Между тем, результирующее выражение (x + 1) такого ограничения не содержит. И хотя при всех остальных значениях x исходное и результирующее выражения совпадают, они не тождественны, так как различаются в одной точке: при x=1 исодное выражение не определено, а результирующее равно 2. Чтобы последнее преобразование было тождественным, необходимо добавить к результирующему выражению ограничение:

(x² + 2x + 1) / (x − 1) ≡ (x + 1), x≠1.

Источники: 

• ru.wikipedia.org — Википедия: тождество (математика);
• ru.wikipedia.org — Википедия: тождественное отображение; 
• mmmf.msu.ru — брошюра «Тождественные преобразования: Методическая разработка для учащихся 8 и 9 классов заочного отделения МММФ» под редакцией А.В. Деревянкина. — М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. — 16 с. 

Дополнительно на Геноне:

• Что такое тождественность?