Как найти площадь и объем правильного тетраэдра?

Тетраэдр (четырёхгранник) — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани.

• У тетраэдра 4 вершины, 6 ребер и 4 грани.
• В каждой вершине сходится 3 ребра.
• Каждая грань ограничена 3 ребрами.

У правильного тетраэдра все грани — равносторонние треугольники. Правильными тетраэдрами можно замостить (покрыть без перекрытия) все пространство.

Угловые параметры правильного тетраэдра.

• Угол между любыми двумя пересекающимися ребрами — 60°.
• Угол между непересекающимися ребрами — 90°. 
• Угол наклона ребра к грани — arctg(√2) ≈ (7/23) π ≈ 54,73°.
• Двугранный угол между любыми двумя гранями — 70,53°.
• Телесный угол при вершине — arccos(23/27) ≈ 0,551286 стерадиана.

Линейные параметры правильного тетраэдра со стороной a.

• Площадь поверхности — √3·a².
• Объём —  (√2/12)·a³.
• Высота —  √(2/3)·a.
• Радиус вписаной сферы — (√6/12)·a.
• Радиус описанной сферы — (√6/4)·a.

Ссылки: 

• ru.wikipedia.org — Википедия: Правильный многогранник;
• ru.wikipedia.org — Википедия: Правильный тетраэдр;
• ref.by — реферат: Свойства равногранного тетраэдра.

Дополнительно в базе данных Генона: 

• Сколько существует правильных многогранников?