Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза?

Рассматривается треугольник АВС, в котором угол С — прямой.

Стороны этого треугольника, прилегающие к прямому углу (т.е. стороны АС и ВС) называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу (т.е. сторона АВ) — гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника, если известны катеты

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Примеры.

В треугольнике АВС (угол С = 90º) катет АС равен 5 см, а катет ВС равен 3 см. Площадь треугольника АВС равна:

S_АВС = 0,5 · 5 · 3 = 7,5 см².

В треугольнике MNP (угол N = 90º) катет PN равен 102 мм, а катет MN равен 76 мм. Площадь треугольника MNP равна:

S_АВС = 0,5 · 102 · 76 = 3876 мм².

Площадь прямоугольного треугольника, если известны две стороны

Нужно разобраться, длины каких именно сторон прямоугольного треугольника известны: двух катетов или же гипотенузы и одного из катетов, т.к. подход к решению будет совершенно разный. Случай, когда известны длины двух катетов, рассмотрен выше. Ниже рассмотрен случай, когда известна длина гипотенузы и одного из катетов.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

 Последовательность решения следующая:

1. используя теорему Пифагора, нужно определить длину второго катета;
2. нужно найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам.

Пример.

В треугольнике АВС (угол С = 90º) катет АС равен 6 см, а гипотенуза АВ равна 9,22 см. Длина второго катета равна

ВС = КОРЕНЬ из (9,22² − 6²) = 7 см.

Теперь по двум известным катетам (АС = 6 см, ВС = 7 см) можно определить площадь треугольника:

S_АВС = 0,5 · 6 · 7 = 21 см².

Площадь прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза

Невозможно найти площадь треугольника, зная одну лишь длину его гипотенузы, потому что гипотенуза не определяет однозначно прямоугольный треугольник. Ведь несколько треугольников могут иметь одинаковую длину гипотенузы, но совершенно разные длины катетов и, соответственно, разную площадь.

Например:

• гипотенуза АС = 10 см, катеты АС = 6 см, ВС = 8 см, площадь S = 0,5 · 6 · 8  = 24 см²;
• гипотенуза АС = 10 см, катеты АС = 5 см, ВС = 8,66 см, площадь S = 0,5 · 5 · 8,66 = 21,65 см²;
• гипотенуза АС = 10 см, катеты АС = 4 см, ВС = 9,165 см, площадь S = 0,5 · 4 · 9,165 = 18,33 см².

Помимо длины гипотенузы, для однозначного определения треугольника необходимо знать либо длину одного из катетов, либо величину одного из острых углов.

Определение площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и одному из катетов рассмотрено выше.

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Зная длину гипотенузы и величину одного из его острых углов, можно найти длины обоих катетов — прилежащего к этому острому углу и противолежащего от этого угла. Далее, зная длины обоих катетов, без труда можно определить площадь треугольника.

Источники:

• П.Ф. Фильчакова. Справочник по элементарной математике. — К.: Наукова думка, 1967. — 442 с.
• М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. — 412 с.
• Е. Хлебалиной. Универсальная школьная энциклопедия. В 2-х томах. Том 2 (М — Я). — М.: Аванта+, 2003. — 592 с.

Дополнительно на Геноне:

• Что такое гипотенуза?
• Что такое катет?
• Как найти площадь прямоугольного треугольника?