Как найти площадь треугольника, отсекаемого на координатной плоскости прямой с уравнением Ax + By + C = 0?

Уравнение вида

Ax + By + C = 0,

где A≠0, B≠0 и C — произвольные константы, задает прямую, пересекающую оси координат Ox и Oy. При этом образуется прямоугольный треугольник с вершинами в точках пересечения и начале координат.

Чтобы найти площадь этого треугольника, нужно сначала определить координаты точек пересечения прямой с осями координат. Для определения точки пересечения с осью Ox, надо подставить в исходное уравнение значение y=0. Получится:

Ax₀ + C = 0   =>  x₀ = −C/A.

Это длина катета прямоугольного треугольника, лежащего на оси Ox.

Координаты точки пересечения: (−C/A; 0).

Аналогичным образом найдет координату пересечения с точкой Oy, подставив x=0:

Вy₀ + C = 0   =>  y₀ = −C/B.

Это длина второго катета, лежащего на оси Oy.

Координаты точки пересечения: (0; −C/B).

Зная длины двух катетов, можно найти площадь треугольника как половину их произведения:

S = x₀·y₀/2 = C²/2AB.

Дополнительно на Геноне:

• Как найти площадь прямоугольного треугольника? 
• Как найти точки пересечения графика линейной функции y = kx + b с осями координат?