Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Шаг 1
Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z — после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.
Шаг 2
Полученные коэффициенты запишите в виде расширенной матрицы. Расширенная матрица – это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов. После этого переходите к элементарным преобразованиям в матрице. Начните переставлять местами ее строки до тех пор, пока не найдете пропорциональные или одинаковые. Как только такие строки появятся, удалите их все, кроме одной.
Шаг 3
Если в матрице появится нулевая строка, удалите и ее. Нулевая строка – это строка, в которой все элементы равны нулю. Затем попробуйте делить или умножать строки матрицы на любые числа, кроме нуля. Это поможет вам упростить дальнейшие преобразования, избавившись от дробных коэффициентов.
Шаг 4
Начните к строкам матрицы прибавлять другие строки, умноженные на любое число, отличное от нуля. Делайте это до тех пор, пока не обнаружите в строках нулевые элементы. Конечная цель всех преобразований – перевести всю матрицу в ступенчатый (треугольный вид), когда каждая нижеследующая строка будет иметь все больше и больше нулевых элементов. В оформлении задания простым карандашом можно подчеркнуть полученную лесенку и обвести кружками числа, расположенные на ступенях этой лестницы.
Шаг 5
Затем приведите полученную матрицу обратно в исходный вид системы уравнений. В самом нижнем уравнении уже будет виден готовый результат: чему равна неизвестная, стоявшая на последнем месте каждого уравнения. Подставив полученное значение неизвестной в уравнение, расположенное выше, получите значение второй неизвестной. И так далее, пока не вычислите значения всех неизвестных.
Источники информации: