Чему равна площадь квадрата?

Квадрат (от лат. quadratus — четырёхугольный) — правильный четырёхугольник у которого все стороны и углы равны между собой. Может быть определён как прямоугольник, у которого две смежные стороны равны между собой, или как ромб, у которого все углы прямые.

Симметрия. Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

• четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам;
• одну ось симметрии четвёртого порядка (проходящую через центр квадрата перпендикулярно его плоскости).

Диагонали. У квадрата есть две диагонали, соединяющие несмежные вершины. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов, пересекаются в центре квадрата под прямым углом и делят друг друга пополам. Каждая диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Две диагонали вместе делят квадрат на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника.

Если обозначить сторону квадрата a, то длина диагонали d вычисляется по теореме Пифагора:

d = √(a² +a²) = √(2a²) = √2·a.

Вписанная и описанная окружности. Вписанная в квадрат окружность касается середины всех сторон квадрата и имеет радиус r, равный половине стороны квадрата a. Описанная вокруг квадрата окружность проходит через все его вершины и имеет радиус R, равный половине длины диагонали квадрата d:

r = a/2,

R = d/2 = (√2/2)·a.

Периметр и площадь. Периметр P квадрата складывается из длин четырех его сторон. Площадь S квадрата равна квадрату длины его стороны:

P = 4a = 8r = 2√2·R,

S = a² = 4r² = 2R². 

Источники:

• Квадрат — Мир геометрии
• Квадрат — Википедия

Дополнительно от Генона: 

• Как классифицируются треугольники?
• Что такое периметр и полупериметр?
• Как найти диагональ куба?
• Как вычислить площадь ромба?
• Как вычислить площадь круга?
• Как вычислить площадь треугольника?
• Как вычислить площадь прямоугольного треугольника?