Квадрат (от лат. quadratus — четырёхугольный) — правильный четырёхугольник у которого все стороны и углы равны между собой. Может быть определён как прямоугольник, у которого две смежные стороны равны между собой, или как ромб, у которого все углы прямые.
Симметрия. Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
- четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам;
- одну ось симметрии четвёртого порядка (проходящую через центр квадрата перпендикулярно его плоскости).
Диагонали. У квадрата есть две диагонали, соединяющие несмежные вершины. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов, пересекаются в центре квадрата под прямым углом и делят друг друга пополам. Каждая диагональ делит квадрат на два . Две диагонали вместе делят квадрат на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника.
Если обозначить сторону квадрата a, то длина диагонали d вычисляется по теореме Пифагора:
d = √(a2 +a2) = √(2a2) = √2·a.
Вписанная и описанная окружности. Вписанная в квадрат окружность касается середины всех сторон квадрата и имеет радиус r, равный половине стороны квадрата a. Описанная вокруг квадрата окружность проходит через все его вершины и имеет радиус R, равный половине длины диагонали квадрата d:
r = a/2,
R = d/2 = (√2/2)·a.
Периметр и площадь. P квадрата складывается из длин четырех его сторон. Площадь S квадрата равна квадрату длины его стороны:
P = 4a = 8r = 2√2·R,
S = a2 = 4r2 = 2R2.
Источники:
Дополнительно от Генона: