Площадь какого сектора равна квадрату радиуса?

Определения. Все приводимые определения эквивалентны:

• Сектор круга — это пересечение круга и некоторого его центрального угла.
• Сектор круга — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром.
• Сектор круга — это часть угла, включающая точки удаленные от вершины угла не более чем на некоторое расстояние (радиус сектора).

Параметры сектора. Форму и размеры сектора полностью определяют два параметра:

• угол θ, 
• радиус R.

Критерий конгруэнтности. Сектора, у которых совпадают оба параметры параметра R и θ, — конгруэнтны.

Критерий подобия. Сектора, у которых совпадают параметры θ, — подобны.

Площадь сектора:

• S = θR²/2, если угол θ выражен в радианах,
• S = (θ/360°)·πR², если угол θ выражен в градусах. 

Периметр сектора:

• P = (2 + θ)·R, если угол θ выражен в радианах,
• P = (2 + πθ/180°)·R, если угол θ выражен в градусах, а π — постоянная пи. 

Частные случаи секторов:

• При θ = 0 получается вырожденный сектор, совпадающий с отрезком длиной R.
• У сектора с углом θ = 1 радиан (≈57°) длины всех сторон равны R, а периметр — 3R.
• Сектор с углом θ = 90° называется квадрантом; особенность квадранта: все три его угла имеют величину 90°.
• У сектора с углом θ = 2 радиана (≈114°) площадь равна квадрату радиуса R².
• Сектор с углом θ = 180° представляет собой половину окружности; особенность: такой сектор имеет только 2 угла величиной 90°.
• При θ > 180° сектор становится невыпуклой фигурой.
• При θ = 360° сектор вырождается в полную окружность. 

Дополнительные сектора. Любые два радиуса разбивают круг на пару секторов. Такие сектора называются взаимно дополнительными, их сумма углов составляет 360°.

Круговые диаграммы. Два или более радиусов разбивают круг на такое же число секторов, сумма углов которых составляет 360°. Это свойство используется при построении так называемых секторных (круговых) диаграмм, в которых вся окружность принимается за 100% некоторого ресурса, а отдельные сектора отражают его разделение по долям.

Развертка конуса. Любой невырожденный сектор представляет собой развертку конуса (без основания). Высоту h этого конуса можно найти по формуле:

• h = R√(1 — θ²/4π²), если угол θ выражен в радианах,
• h = R√(1 — (θ/360°)²), если угол θ выражен в градусах.

Источники: 

• Википедия: Круг
• Википедия: Сектор (геометрия) 

Дополнительно от Генона: 

• Как найти площадь круга?
• Как найти длину хорды? 
• Как найти площадь треугольника?
• Как вычислить площадь прямоугольного треугольника? 
• Каково точное значение числа пи?