Как найти площадь прямоугольника по длине диагоналей и углу между ними?

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого четыре прямых угла. Размеры прямоугольника задаются длиной его сторон, обозначаемых обычно a и b. Прямоугольник, все стороны которого равны (a=b) называется квадратом.

Свойства прямоугольника

• противолежащие стороны равны и параллельны друг другу;
• диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон;
• прямогугольниками одного размера можно полностью замостить плоскость;
• прямоугольник можно двумя способами разделить на два равных между собой прямоугольника;
• прямоугольник можно разделить на два равных между собой прямогульных треугольника;
• вокруг прямоугольника можно описать окружность, диаметр которой равен диагонали прямоугольника;
• в прямогульник (кроме квадрата) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Параллельность сторон, одинаковость углов и возможность замощения плоскости делают прямоугольник самой удобной геометрической фигурой при разбиении площади на участки будь то на местности, в помещении или внутри технического устройства. Участок можно считать прямоугольным, если его отклонения от идеального прямоугольника не превышают допустимой в расчетах погрешности. Тогда для периметр и площадь участка можно определять по формулам расчета периметра и площади прямоугольника.

Периметр P прямоугольника равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу

P = 2(a + b).

Длина диагонали d прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора:

d = √(a² + b²).

Углы между диагоналями прямоугльника определяются соотношением сторон:

α = 2arctg(a/b),

β = 2arctg(b/a),

α + β = 180°.

Площадь S прямоугольника равна произведению сторон, прилежащих к одному углу (произведению длины на ширину):

S = a·b.

Также можно выразить площадь прямоугольника через длину диагоналей и угол между ними:

S = d²·sin(α/2)·cos(α/2).

Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен половине длины диагонали:

R = √(a² + b²)/2.

В прямоугольник (если он не квадрат) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон. Максимальный радиус окружности, которая может поместиться внутри прямоугольника, равен половине его меньшей стороны.

Источники: 

• Прямоугольник — Википедия
• Четырехугольники — на сайте Омского университета

Дополнительно от Генона: 

• Как найти площадь и периметр квадрата?
• Как найти площадь прямоугольного треугольника? 
• У каких многоугольников все диагонали равны между собой?