Зачем сокращают дроби?

Что такое дробь в математике? 

Дробь – число, составленное из одной или нескольких равных долей единицы.

Это — само определение дроби. А более подробно ответ на вопрос «что такое дробь» (а также что такое «единица» в определении дроби) представлен ниже на конкретных примерах, а также в обучающем видео.

Пример 1.

Круг разделили на две равные части, и одну из них взяли. Имеем дробь ½. Числитель дроби (1) показывает, сколько равных частей круга взяли (взяли одну часть). Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили круг (делили его на две равные части).

Пример 2.

Круг разделили на три равные части. Взяли одну часть (т.е. 1/3). Взяли две части (т.е. 2/3).

Пример 3.

Торт разрезали на 8 равных кусков. Каждый кусок – это 1/8 торта. Папе в тарелку положили два куска (т.е. 2/8 торта), а бабушке – три куска (т.е. 3/8 торта).

Совершенно не обязательно «единица» в определении дроби на практике должна быть представлена кругом или тортом (как обычно её представляют в примерах из учебников) или чем-то монолитным физически.

Пример 4.

Бабушка купила 18 мотков пряжи. Себе она оставила 13 мотков (т.е. 13/18 покупки), а 5 мотков (т.е. 5/18 покупки) отдала внучке. В результате у внучки оказалось 5/13 того, что оставила себе бабушка. В данном примере сначала за единицу была принята вся покупка (18/18 = 1), а потом – то, что оставила себе бабушка (13/13 = 1).

Что такое смешанное число?

Смешанное число – число, в состав которого входит целое число и дробь. Например, 3½, 9⁷/_8. Читается это так: «три целых, одна вторая», «девять целых, семь восьмых» или «три целых и одна вторая», «девять целых и семь восьмых». Иногда слово «целых» пропускают и говорят так: «три и одна вторая», «девять и семь восьмых». Число 3½ можно представить, например, как три целых торта (обязательно одинаковых) и половину от четвертого такого же торта. Наглядно ответ на вопрос «что такое смешанное число» представлен в обучающем видео.  

Правильные и неправильные дроби

Числитель может быть меньше знаменателя, больше знаменателя или равен ему. В зависимости от этого различают дроби «правильные» и «неправильные». 

Правильная дробь – дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, ½, 5/6, 9/10, 11/125, 144/145. 

Неправильная дробь – дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 3/2, 6/5, 10/9, 125/125, 145/144.

Как представить в своем воображении правильную дробь – описано в примерах выше. А неправильную дробь можно представить так (см. примеры ниже).

Пример.

На празднование дня рождения купили два одинаковых торта. Их оба порезали на одинаковое число кусков (на 8 кусков порезали первый торт и на столько же кусков порезали второй торт, всего получилось 8 + 8 = 16 одинаковых кусков). Но горячие блюда оказались настолько калорийными, что и первый торт был съеден не весь (5 кусков было съедено, а 3 куска остались на блюде), а второй торт (8 кусков) вообще остался нетронутым. Итого съедено было 5/8 одного торта, или 5/16 всего десерта. (5/8 и 5/16 – правильные дроби). А что осталось? Остался один целый торт (нарезанный на 8 кусков, т.е. 1 = 8/8) и ещё 3/8 такого же торта. Т.е. осталось 11/8 торта (одиннадцать восьмых, это неправильная дробь, т.к. числитель больше знаменателя).

Обращение неправильной дроби в смешанное число 

Чтобы обратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель дроби разделить на знаменатель и найти остаток; частное покажет число целых единиц, а остаток – число долей единицы. 

Пример 1.

Нужно обратить неправильную дробь 25/4 в смешанное число.

Последовательность действий следующая.

1) Делить 25 на 4. Целых получается 6.

2) Умножить 6 (целых) на 4 (знаменатель), результат равен 24.

3) Вычесть 24 из 25 – и получается остаток 1.

В результате получено смешанное число 6¹/₄ (шесть целых и одна четвертая).

Пример 2.

Нужно обратить неправильную дробь 106/14 в смешанное число.

Последовательность действий следующая.

1) Делить 106 на 14. Целых получается 7.

2) Умножить 7 (целых) на 14 (знаменатель), результат равен 98.

3) 106 – 98 = 8.

В результате получено смешанное число 7⁸/₁₄ (семь целых и восемь четырнадцатых).

Ответ на вопрос «Из какой дроби можно выделить целую часть?» следующий. В правильной дроби числитель меньше знаменателя, следовательно, результат деления числителя на знаменатель меньше единицы. Поэтому из правильной дроби выделить целую часть нельзя. Целую часть можно выделить из неправильной дроби, в процессе её обращения в смешанное число. Эта процедура рассмотрена в примерах выше, а также наглядно показана в обучающем видео.

Обращение смешанного числа в неправильную дробь

Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно:

- знаменатель умножить на целую часть;

- к полученному произведению прибавить числитель, сделать эту сумму числителем искомой дроби, а знаменатель оставить прежний.

Ниже смешанные числа из предыдущих примеров (6¹/₄ и 7⁸/₁₄) снова обращены в неправильные дроби:

Пример 1.

Требуется смешанное число 6¹/₄ обратить в неправильную дробь.

6 (целых)*4 (знаменатель) = 24,

24 + 1 (числитель) = 25 (будет числителем неправильной дроби),

Неправильная дробь: 25/4.

Пример 2.

Требуется смешанное число 7⁸/₁₄ обратить в неправильную дробь.

7 (целых)*14 (знаменатель) = 98,

98 + 8 (числитель) = 106 (будет числителем неправильной дроби),

Неправильная дробь: 106/14.

Другие примеры.

6³/₄ = (6*4 + 3)/4 = (24+3)/4 = 27/4

5³/₈ = (5*8 + 3)/8 = (40+3) / 8 = 43/8

25¹⁴/₈₈ = (25*88 + 14)/88 = (2200 + 14) / 88 = 2214/88

Основное свойство дроби

При одновременном увеличении или уменьшении числителя и знаменателя в одинаковое число раз дробь не изменится.

a/b = am / bm 

1/2 = 2/4 = 4/8

Представить себе это можно так. Разрезали торт на четыре равные части, и одну взяли себе. Т.е. взяли ¼ торта. Но каждый кусок можно ещё разрезать, например, пополам (а весь торт при этом был бы разрезан не на 4, а на 8 равных частей). Наша доля осталась бы прежней (1/4), но состояла бы она из двух кусков меньшей в два раза величины (т.е. 2/8). Или торт можно было бы разрезать не на 4 и не на 8, а на 12 равных частей. Взяли бы мы тогда себе 3 куска (т.е. 3/12). Но и 2/8, и 3/12 составляет ту же ¼ часть торта. Ни больше, ни меньше.

Как и зачем сокращать дроби

Сокращением дроби называется замена её другой, равной ей дробью с меньшими членами, путём деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

Таким образом, сокращение дроби основано на основном её свойстве.

Зачем сокращать дроби? Взятую часть торта из предыдущего примера (3/12 или 2/8) легче представить в своём воображении, если эти дроби сократить. В дроби 3/12 и числитель, и знаменатель делятся без остатка на 3, результат – ¼. В дроби 2/8 и числитель, и знаменатель делятся без остатка на 2, результат – ¼. Представить ¼ торта гораздо легче, чем представить 2/8, 3/12 или же 6/24 торта.

Другие примеры сокращения дробей:

18/56 = (2*9) / (2*28) = 9/28

27/33 = (3*9) / (3*11) = 9/11

30/250 = (3*10) / (25*10) = 3/25

Иногда задают вопрос «Можно ли сокращать дроби при их сложении и вычитании?». Можно и нужно сокращать эти дроби, только ни в коем случае не «друг с другом», т.е. не числитель одной дроби со знаменателем другой. Сокращать нужно каждую дробь в отдельности, но нужно при этом помнить и о том, что дроби для их сложения или вычитания должны быть приведены к одному общему знаменателю (и желательно – именно к наименьшему общему знаменателю). А вот при умножении дробей сокращать можно числитель дроби со знаменателем как этой дроби, так и со знаменателем другой дроби. Поскольку деление дробей заменяется операцией умножения, то сказанное выше можно распространить и на операцию деления дробей. Рекомендуется скачать решенные примеры с дробями, где были выполнены такие преобразования.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежний.

Например,

3/5 + 1/5 = 4/5 (сложили числители 3 + 1 = 4, а знаменатель (5) оставили прежний).

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого, а знаменатель дроби оставить прежний.

Например,

6/15 – 4/15 = 2/15 (числитель 6 – 4 = 2, знаменатель (15) прежний).

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей, имеющих разные знаменатели, нужно предварительно привести их к общему знаменателю. Этим знаменателем должно стать общее кратное знаменателей данных дробей.

Например, дроби 2/5 и 3/15 можно было бы привести к общему знаменателю 15, 30, 45, 75, 150 или ещё большему, но объем вычислительной работы будет намного меньшим, если приводить дроби именно к наименьшему общему знаменателю (в данном случае — 15).

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

- найти наименьшее общее кратное всех знаменателей;

- для каждого знаменателя определить дополнительный множитель (разделив новый знаменатель на прежний);

- числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель её знаменателя.

Пример 1.

Дроби 2/5 и 3/15.

Знаменатель первой дроби: 5 = 1*5

Знаменатель второй дроби: 15 = 3*5

Наименьшее общее кратное знаменателей: 3*5 = 15 (новый знаменатель дробей)

Дополнительный множитель для знаменателя первой дроби: 15 / 5 = 3

Дополнительный множитель для знаменателя второй дроби: 15 / 15 = 1

Новый числитель первой дроби: 3*2 = 6

Новый числитель второй дроби: 3 (в данном случае первая дробь приводится к знаменателю второй дроби).

Итак, ответ: 6/15 и 3/15.

Пример 2.

Дроби 2/5 и 4/7.

Знаменатель первой дроби: 5 = 1*5

Знаменатель второй дроби: 7 = 1*7

Наименьшее общее кратное знаменателей: 5*7 = 35 (новый знаменатель дробей)

Дополнительный множитель для знаменателя первой дроби: 35 / 5 = 7

Дополнительный множитель для знаменателя второй дроби: 35 / 7 = 5

Новый числитель первой дроби: 7*2 = 14

Новый числитель второй дроби: 5*4 = 20.

Итак, ответ: 14/35 и 20/35.

Пример 3.

Дроби 2/15 и 7/12.

Знаменатель первой дроби: 15 = 3*5

Знаменатель второй дроби: 12 = 3*4

Наименьшее общее кратное знаменателей: 3*4*5 = 60 (новый знаменатель дробей)

Дополнительный множитель для знаменателя первой дроби: 60 / 15 = 4

Дополнительный множитель для знаменателя второй дроби: 60 / 12 = 5

Новый числитель первой дроби: 4*2 = 8

Новый числитель второй дроби: 5*7 = 35.

Итак, ответ: 8/60 и 35/60.

Пример 4.

Дроби 2/21, 5/24 и 3/16.

Знаменатель первой дроби: 21 = 3*7

Знаменатель второй дроби: 24 = 2*12 = 2*2*6 = 2*2*2*3

Знаменатель третьей дроби: 16 = 2*8 = 2*2*4 = 2*2*2*2

Наименьшее общее кратное знаменателей: 2*2*2*2*3*7= 336 (новый знаменатель дробей)

Дополнительный множитель для знаменателя первой дроби: 336 / 21 = 16

Дополнительный множитель для знаменателя второй дроби: 336 / 24 = 14

Дополнительный множитель для знаменателя третьей дроби: 336 / 16 = 21

Новый числитель первой дроби: 2*16 = 32

Новый числитель второй дроби: 5*14 = 70

Новый числитель третьей дроби: 3*21 = 63

Итак, ответ: 32/336, 70/336 и 63/336.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (т.е. сложение и вычитание дробей, имеющих разные знаменатели)

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, сложить их числители и подписать общий знаменатель.

Например, нужно сложить дроби 2/21, 5/24 и 3/16.

Приведение их к наименьшему общему знаменателю подробно описано в рассмотренном выше примере №4.

Таким образом,

2/21 + 5/24 + 3/16 = 32/336 + 70/336 + 63/336 = (32 + 70 + 63)/336 = 165/336

Сложение дробей с разными знаменателями (т.е. сложение дробей, имеющих разные знаменатели)

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, сложить их числители и подписать общий знаменатель.

Например, нужно сложить дроби 2/21, 5/24 и 3/16.

Приведение их к наименьшему общему знаменателю подробно описано в рассмотренном выше примере №4.

Таким образом,

2/21 + 5/24 + 3/16 = 32/336 + 70/336 + 63/336 = (32 + 70 + 63)/336 = 165/336.

Рекомендуется скачать решенные примеры с дробями, где были выполнены действия сложения дробей с разными знаменателями.

Вычитание дробей с разными знаменателями (т.е. вычитание дробей, имеющих разные знаменатели)

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и подписать общий знаменатель.

Пример:

5/24 – 2/21 = 70/336 – 32/336 = 38/336.

Оставлять ответ в таком виде математически «некультурно». Дробь нужно сократить: 38/336 = (2*19) / (2*168) = 19/168. Однако, сокращать дробь пришлось из-за того, что знаменатель 336 был наименьшим общим знаменателем трех дробей 2/21 + 5/24 + 3/16, рассмотренных в предыдущем примере, но не является наименьшим общим знаменателем дробей двух дробей 5/24 и 2/21 (а является просто общим знаменателем).

А поступить изначально следовало так:

24 = 2*12 = 2*2*6 = 2*2*2*3

21 = 3*7

НОК(24,21) = 2*2*2*3*7 = 168 (наименьший общий знаменатель дробей 5/24 и 2/21)

168/24*5 = 7*5 = 35 (числитель первой дроби)

168/21*2 = 8*2 = 16 (числитель второй дроби)

5/24 – 2/21 = 35/168 – 16/168 = 19/168.

Получен тот же ответ, но быстрее и оперируя меньшими числами.

Итак, ответ: 5/24 – 2/21 = 19/168.

Рекомендуется скачать решенные примеры с дробями, где были выполнены действия вычитания дробей с разными знаменателями.

Сравнение дробей

Чтобы сравнить дроби, имеющие одинаковые знаменатели, нужно сравнить числители этих дробей.

Например,

2/5 < 4/5,

7/18 > 1/18.

Чтобы сравнить дроби, имеющие разные знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю, и затем сравнить новые числители дробей. Лучше приводить дроби к наименьшему общему знаменателю, так намного сокращается объем вычислительной работы.

Пример.

Нужно сравнить дроби 2/21 и 3/16.

21 = 3*7

16 = 2*2*2*2

НОК(21, 16) = 2*2*2*2*3*7 = 336

2/21 = 32/336

3/16 = 63/336

63>32, следовательно дробь 63/336 больше дроби 32/336, и 3/16> 2/21, а 2/21 < 3/16.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Иногда вопросы задают так: «Как складывать смешанные дроби?», «Как вычитать смешанные дроби?». Это некорректно. Есть дробные числа, которые и называют просто «дробями» (например, 5/7 или 8/49), а есть смешанные числа, состоящие из целой и дробной части (например, 1⁸/₉, 125¹³/₁₄). Нет такого понятия «смешанная дробь». Вопрос должен звучать так: «Как складывать смешанные числа?» или «Как вычитать смешанные числа?».

Последовательно нужно сложить (вычесть) целые и дробные части. При необходимости, дробные части нужно привести к общему знаменателю.

Бывают случаи, когда дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого. В таких случаях нужно взять одну единицу из целой части уменьшаемого, раздробить её в те доли, в каких выражена дробная часть, и прибавить к дробной части уменьшаемого.

Примеры.

5¹/₈ + ³/₈ = 5⁴/₈ = 5¹/₂

10²/₂₁ + ⁵/₂₄ + 6³/₁₆ = 10³²/₃₃₆ + ⁷⁰/₃₃₆ +6⁶³/₃₃₆ = 10 + 6 + (32 + 70 + 63)/336 = 16 + 165/336 = 16¹⁶⁵/₃₃₆.

5³/₁₆ – 1²/₂₁ = 5 – 1 + 3/16 – 2/21 = 4 + 63/336 — 32/336 = 4 + (63 — 32)/336 = 4 + 31/336 = 4³¹/₃₃₆

7²/₂₁ – 3³/₁₆ = 7 – 3 + 2/21 – 3/16 = 4 + 32/336 — 63/336 = 3 + 1 + 32/336 – 63/336 = 3 + 336/336 + 32/336 – 63/336 = 3 + (336 + 32 — 63)/336 = 3 + 305/336 = 3³⁰⁵/₃₃₆

Поскольку вопрос «Как складывать дроби с целым числом» кто-то может трактовать ошибочно, ответ на этот вопрос здесь рассматривается подробно. Если имеется в виду прибавление дроби к целому числу (например, к двум нужно прибавить две трети, т.е. 2 + 2/3), то ответ будет представлять собой смешанное число, целая часть которого равна целому числу – слагаемому (в настоящем примере это число «2»), а дробная часть равна дроби (в настоящем примере это 2/3). Т.е. 2 + 2/3 = 22/3. Другой пример: 15 + 7/24 = 157/24. Если же в данном вопросе кто-то под фразой «дробь с целым числом» понимает смешанное число – это некорректно. Тогда вопрос нужно ставить как «сложение смешанных чисел», «как складывать смешанные числа».

Рекомендуется скачать решенные примеры с дробями, где было выполнено сложение и вычитание смешанных чисел.

Умножение целого числа на дробь

Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить целое число на числитель этой дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.

Аналогично, чтобы умножить дробь на целое число, надо умножить числитель дроби на целое число и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.

Пример.

3* 5/8 = (3*5) / 8 = 15/8 = 1⁷/₈

Умножение дробей

При умножении дробей нет никакой разницы в том, одинаковы их знаменатели или же они различные. Поэтому вопросы «как умножать дроби с одинаковыми знаменателями», «как умножать дроби с разными знаменателями» и «как умножать дроби с разными знаменателями и числителями» особого смысла не имеют. Ответы на них те же, что и на известные, более распространенные вопросы «как умножать дроби», «как умножить дробь на дробь».

Правило умножения дробей следующее.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель (это будет числитель произведения), а знаменатель – на знаменатель (это будет знаменатель произведения).

Пример:

2/3 * 5/6 = (2*5) / (3*6) = 10/18

Дробь 10/18 нужно ещё сократить: 10/18 = (2*5) / (2*9) = 5/9.

Но можно было поступить иначе (что предпочтительней):

2/3 * 5/6 = (2*5) / (3*6) = (2*5) / (3*2*3) = 5 / (3*3) = 5/9

Если один или несколько сомножителей имеют знак «минус» — знак произведения определяют так же, как и при умножении целых чисел с разными знаками.

Умножение смешанного числа на целое число

Чтобы умножить смешанное число на целое, нужно предварительно обратить смешанное число в неправильную дробь и потом перемножить по правилу умножения дроби на целое число.

Примеры.

2¹/₃ * 4 = 7/3 * 4 = (7*4) / 3 = 28/3 = 9¹/₃

6 * 5⁸/₉ = 6 * (5*9 + 8)/9 = 6* (45+8)/9 = 6* 53/9 = 2*3*53/(3*3) = 2*53/3 = 106/3 = 35¹/₃

Как известно, к множеству целых чисел относятся натуральные числа, им противоположные (т.е. со знаком «минус») и ноль. Поэтому умножение смешанного числа на натуральное число – это частный случай, на который так же распространяется правило умножения смешанного числа на целое число. Иногда этот вопрос формулируют некорректно: как умножать смешанные дроби на натуральное число. Нет понятия «смешанные дроби», есть смешанные числа.

Умножение смешанных чисел

Иногда вопрос задают так: «Как умножать смешанные дроби?». Это некорректно, как уже было сказано выше, когда разбирались подобные некорректные вопросы о сложении и умножении смешанных дробей. Вопрос должен звучать так: «Как умножать смешанные числа?».

Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножить по правилу умножения дроби на дробь.

Пример.

2⁷/₈ * 3⁵/₁₁ = [(2*8 + 7)/8] * [(3*11 + 5)/11] = [(16+7)/8] * [(33+5)/11] = 23/8 * 38/11 = [23/(2*4)] * [(2*19)/11] = 23/4 * 19/11 = (23*19) / (4*11) = 437 / 44 = 9⁴¹/₄₄

Здесь в процессе решения было выполнено сокращение дробей (уменьшение числителя и знаменателя в одинаковое число раз, в данном случае – в два раза). Если бы этого не было сделано в процессе решения, а были бы просто перемножены числители и знаменатели, результат был бы следующим:

2⁷/₈ * 3⁵/₁₁ = 23/8 * 38/11 = (23*38) / (8*11) = 874/88

Как видно, такую дробь нужно сокращать:

2⁷/₈ * 3⁵/₁₁ = 23/8 * 38/11 = 874/88 = (437*2)/(44*2) = 437/44

Этим примером проиллюстрировано, что, не производя сокращение дробей в процессе решения, приходится оперировать большими числами, а дробь, полученную в результате, так же приходится сокращать. Лучше производить сокращение в процессе решения.

Рекомендуется скачать решенные примеры с дробями, где было выполнено умножение смешанных чисел.

Вопрос «Как умножать дроби с целым числом» некорректен. Если под «дробью с целым числом» имеется в виду смешанное число – читайте об умножении смешанных чисел. Если же имеется в виду умножение дроби на целое число – читайте о том, как умножить целое число на дробь.

Обратные дроби

Понимание того, что такое обратная дробь, весьма важно для освоения процедуры деления дробей. Взаимно обратными дробями называются две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй.

Например, взаимно обратными являются дроби 4/5 и 5/4, 11/148 и 148/11.

Для всех чисел с числителем «1» обратными будут целые числа. А чтобы написать число, обратное целому, надо поставить это число знаменателем, а числителем будет равен 1.

Например, взаимно обратными будут числа 7 и 1/7, 25 и 1/25, 1/48 и 48, 1/3 и 3.

Взаимно обратные числа обладают следующим свойством: произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить число на дробь, надо это целое число умножить на знаменатель данной дроби и, сделав это произведение числителем, разделить его на числитель данной дроби.

Это правило можно записать так:

a: (b/c) = (ac) / b

Примеры:

5/ (2/3) = (5*3)/2 = 15/2 = 7¹/₂

8/ (6/21) = (8*21) / 6 = (2*4*21) / (2*3) = (4*21) / 3 = (4*3*7) / 3 = 4*7 = 28

Деление дробей

При делении дробей не имеет значения, одинаковы или различны их знаменатели. Поэтому вопросы «Как делить дроби с разными знаменателями и числителями», «Как делить дроби с разными знаменателями», «Как делить дроби с одинаковыми знаменателями» особого смысла не имеют. Ответы на них те же, что и на вопрос о том, как делить дроби.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй (это будет числитель новой дроби), а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй (это будет знаменатель новой дроби).

Можно сказать иначе:

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю) (т.е. первую дробь нужно умножить на «перевернутую» вторую дробь).

Примеры:

(4/5):(3/11) = (4/5)*(11/3) = (4*11)/(5*3) = 44/15 = 2¹⁴/₁₅

(6/7):(2/9) = (4/5)*(11/3) = (4*11)/(5*3) = 44/15 = 2¹⁴/₁₅

О том, как работать с буквенно-числовыми выражениями (делить их, вычитать, умножать, складывать), говорится в школьном курсе алгебры. Этот вопрос не затрагивается в данной статье, посвященной обыкновенным и десятичным дробям. Однако, даётся предостережение: иногда школьники ошибочно «делят» sin(x) на cos(x), сокращают одинаковые буквы «s» и одинаковые буквы «х» в числителе и знаменателе и получают «результат» in/co. Это абсолютно безграмотно, т.к. sin(x) и cos(x) – тригонометрические функции, а не произведение переменных «s», «i», «n», «x» и «c», «o», «s», «x».

Если делимое или делители имеют знак «минус» — знак частного определяют так же, как и при делении целых чисел с разными знаками.

Деление смешанных чисел

Иногда вопрос задают так: «Как делить смешанные дроби?». Выше уже было сказано о том, что понятия «смешанная дробь» нет. Вопрос должен звучать так: «Как делить смешанные числа?».

Чтобы разделить одно смешанное число на другое, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом разделить по правилу деления дроби на дробь.

Пример.

2⁷/₈ : 3⁵/₁₁ = [(2*8 + 7)/8] : [(3*11 + 5)/11] = [(16+7)/8] : [(33+5)/11] = 23/8 : 38/11 =

=(23/8) * (11/38) = (23*11) / (8*38) = 253 / 304.

Рекомендуется скачать решенные примеры с дробями, где было выполнено деление дробей и деление смешанных чисел. Там же можно скачать примеры решений с трехэтажными дробями.

Десятичные дроби

Различают дроби обыкновенные и дроби десятичные. Обыкновенные дроби представлены в виде числителя и знаменателя, разделенных горизонтальной чертой. Когда нет возможности поставить горизонтальную черту, пользуются косой чертой (например, 7/11, 6/125, 39/1572). Знаменателями же десятичных дробей являются только числа, изображаемые единицей с последующими нулями (одним или несколькими), например 7/10, 6/100, 39/1000. Те же 7/10, 6/100 и 39/1000 можно представить в виде десятичной дроби без знаменателя: 0,7; 0,06; 0,039 (читается: семь десятых, шесть сотых, тридцать девять тысячных).

Сравнение десятичных дробей

Из двух десятичных дробей та больше, у которой число целых больше; при равенстве целых та дробь больше, у которой число десятых больше; при равенстве целых и десятых та дробь больше, у которой число сотых больше, и т.д.

Например,

3,125 < 5,016

0,078 > 0,069

0,412 > 0,300257

0,7825 < 0,784

0,905 < 0,92

Действия над десятичными дробями

Чтобы увеличить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести запятую в ней на один знак вправо; чтобы увеличить её в 100 раз, нужно перенести запятую на два знака вправо; чтобы увеличить её в 1000 раз – на три знака вправо, и т.д. Если при этом не хватает знаков у числа, то приписывают к нему справа нули.

Чтобы уменьшить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести запятую в ней на один знак влево; чтобы уменьшить её в 100 раз, нужно перенести запятую на два знака влево; чтобы уменьшить её в 1000 раз – на три знака влево, и т.д. Если при этом не хватает знаков у числа, то приписывают к нему слева нули.

Например,

2,05*10 = 20,5

2,05*1000 = 2050

2,05/10 = 0,205

2,05/100 = 0,0205 

При сложении десятичных дробей надо соблюдать следующий порядок: дроби подписывать одна под другой так, чтобы во всех слагаемых одинаковые разряды находились друг под другом и все запятые стояли в одном и том же вертикальном столбце; справа от десятичных знаков некоторых слагаемых приписывают, хотя бы мысленно, такое число нулей, чтобы все слагаемые после запятой имели одинаковое число цифр. Затем выполняют сложение по разрядам, начиная с правой стороны, и в полученной сумме ставят запятую в том же самом вертикальном столбце, в каком она находится в данных слагаемых.

Например, требуется сложить 1,905 + 0,3 + 7,8814

  1,9050

  0,3000

  7,8814

10,0864

При вычитании десятичных дробей надо соблюдать следующий порядок: подписывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы одинаковые разряды находились друг под другом и все запятые стояли в одном и том же вертикальном столбце; справа приписывают, хотя бы мысленно, в уменьшаемом или вычитаемом столько нулей, чтобы они имели одинаковое число десятичных знаков, затем выполняют вычитание по разрядам, начиная с правой стороны, и в полученной разности ставят запятую в том же самом вертикальном столбце, в каком она находится в уменьшаемом и вычитаемом.

Например, требуется выполнить вычитание 145,501 – 3,040652 – 17,89

145,501000

    3,040652

  17,890000

124,570348

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой с правой стороны столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и множителе вместе.

Например,

127,0206*4,03 = 511,893018

7,31*2,4 = 17,544

Деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и деление целых чисел, причём получающиеся остатки обращают в десятичные доли, всё боле и более мелкие; деление продолжают до тех пор, пока в остатке не получится нуль или остаток не станет пренебрежимо малым (исходя из его разряда).

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно отбросить в делителе запятую, а затем увеличить делимое во столько раз, во сколько увеличился делитель при отбрасывании в нём запятой, после чего выполнить деление по правилу деления на целое число.

Например, 5/3,05 = 500/305 ≈ 1,639344

Зачем в школе изучают дроби

Тема «дроби» довольно тяжело дается почти всем школьникам, исключение составляют лишь 3 – 5 человек из класса, наиболее сообразительные и наиболее подготовленные к обучению в школе. Но и все остальные могут (и должны) её освоить путем систематических занятий, решения достаточного количества примеров, способствующих выработке техники вычислений, и задач, способствующих более глубокому пониманию данной темы. Ведь дроби окружают нас в жизни всюду: разве есть человек, не знающий о существовании пол-литровой (0,5 л или ½ л) банки или о том, что нормальная температура его тела должна составлять 36,6 градусов? И, на самом деле, каждый знает, что содержимое двух пол-литровых банок можно слить в одну литровую, а содержимое двух 1,5 л бутылок – в трёхлитровую бутыль, просто в этот момент никто не задумывается о том, что он сейчас складывает дроби. А разве кто-то не умеет сравнивать десятичные дроби? Есть кто-то, не знающий, что температура тела 36,9 – выше, чем 36,6? Но это – лишь самые простые примеры из повседневной жизни любого человека. Людям же технических и естественно-научных специальностей приходится в своей профессиональной деятельности решать более сложные задачи, связанные с дробными числами. Понимание темы «дроби» очень пригодится и при дальнейшем изучении математики в средней школе, т.е. алгебры и геометрии. 

Примеры решения задач на действия с дробями

Задача 1

В первый день стекольщики остеклили 35 окон, что составляет 1/8 всех окон построенного дома. Сколько всего окон в доме? 

В условии задачи сказано, что остекленные 35 окон составляют 1/8 всех окон построенного дома. Значит, всего окон в 8 раз больше, т.е.

35*8 = 280 окон.

Задача 2

Магазин за месяц продал 2730 кг сахара, что составляет 3/7 всего запаса сахара, имевшегося в магазине. Каков был первоначальный запас сахара в магазине?

Весь имевшийся запас – это 7/7.

1/7 запаса составляет 2730/3 = 910 кг.

Весь имевшийся запас составлял 910*7 = 6370 кг.

Источники информации:

• Шевченко И.Н. Арифметика. Учебник для 5 и 6 классов восьмилетней и средней школы. – Изд. 8-е. – М.: Гос. учебно-педагогическое изд., 1963. – 216 с.
• Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. – 412 с. 
• Универсальная школьная энциклопедия. В 2-х томах. Т. 1 (А – Л) / Под ред. Е. Хлебалиной. — М.:Аванта+, 2003. — 528 с.
• reshusam.ucoz.ru — Примеры выполнения действий с дробями;
• ru.wikipedia.org — дробь (математика) — Википедия;
• dic.academic.ru — дробь (математика);
• for6cl.uznateshe.ru — что такое дробь. Математика.