ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Слово "геометрия" — греческое, в переводе на русский язык означает "землемерие". Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.
Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрии, и есть пространственная форма. Поэтому в геометрии говорят, например, "шар", а не "тело шарообразной формы". Расположение и размеры определяются пространственными отношениями. Наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, также есть некоторое отношение между двумя фигурами — данной и той, в которую она преобразуется.
В современном, более общем смысле, геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к геометрии определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдаленным) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными.
ИСТОРИЯ И РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИИ
Родиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет. Греческие писатели единодушно сходятся па том, что геометрия возникла в Египте и оттуда была перенесена в Элладу.
Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в Индии, в Ассирии, в Египте, были связаны с необходимостью измерять расстояния и участки на земле, объемы и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные сооружения требовали нивелирования, выдержанной вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость измерять промежутки времени требовала систематического наблюдения над движением светил, а следовательно, измерения углов. Все это было неосуществимо без знакомства с элементами геометрии, и во всех названных странах основные геометрические представления возникали частью независимо друг от друга, частью — в порядке преемственной передачи.
Греческие авторы связывают появление геометрии с именем Фалеса Милетского (639—548), вся научная деятельность которого изображается греками в полумифическом свете, так что точно ее восстановить невозможно. Достоверно, по-видимому, то, что Фалес в молодости много путешествовал по Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них научился многому, в том числе геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете, посвятив себя занятиям наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так называемую Ионийскую школу. Фалесу приписывают открытие ряда основных геометрических теорем (например, теорем о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п.). Важнее, по-видимому, другое.
В условиях быстро развивавшейся архитектуры, мореплавания, гражданской и военной техники, в условиях развертывавшихся уже в связи с этим исследований в области астрономии, физики, механики, требовавших точных измерений, не только очень скоро обнаружились противоречия и неправильности египетской геометрии, но и в исправленном виде ее скудный материал перестал удовлетворять возросшим потребностям. Элементарные приемы непосредственного наблюдения восточной геометрии были бессильны перед новыми задачами. Чтобы их разрешить, было необходимо оторвать геометрию от непосредственных задач измерения полей и постройки пирамид, — задач, узких при всей их важности, — и поставить ей неизмеримо более широкие задания.
Этой тенденции и положено было начало Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрию в область гораздо более широких представлений и задач, придала ей теоретический характер и сделала ее предметом тонкого исследования, в котором наряду с интуицией начинает играть видную роль и абстрактная логика. Абстрактно-логический характер геометрии, который в Ионийской школе только намечался, подернулся, правда, несколько мистическим флером у пифагорейцев, принял у Платона и Аристотеля более здоровые формы и в Александрийской школе нашел свое завершение.
Самое слово «геометрия» недолго сохраняет свое первоначальное значение — измерения земли. Уже Аристотель ввел для такого измерения новый термин — геодезия. Однако и содержание этой новой дисциплины скоро тоже стали понимать в более широком смысле, который может быть лучше всего передается современным термином "метрическая геометрия". В трудах Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита, Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля, если назвать только важнейших, с необычайной быстротой производятся установление и систематизация фактического материала классической геометрии.
Нужно отметить, что нам известны лишь разрозненные звенья в цельной цепи развития геометрии. Около IV в. до н. э. уже стали появляться сводные сочинения под названием "Начала геометрии", имевшие задачей систематизировать добытый геометрический материал. Такие "Начала" по свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из Магнезии, Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось замечательное руководство по геометрии — "Начала" Евклида, жившего в конце IV — начале III в. до н. э.
Евклид жил в Александрии в эпоху, когда там образовался наиболее крупный центр греческой научной мысли. Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет. Его "Начала" сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились геометрии юноши и взрослые. Даже те учебники, по которым ведется первоначальное обучение геометрии в наше время, по существу представляют собой переработку "Начал" Евклида.
Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии геометрии, однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока.
Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет геометри. Принципиально новый шаг был сделан в первой половине XVII в. Рене Декартом, который вввл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную. Геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних.
Следующий период в развитии Геометрия открывается построением Николаем Ивановичем Лобачевским в 1826 году новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же геометрию построил Янош Больяй (те же идеи развивал Карл Фридрих Гаусс, но он не опубликовал их).
Главная особенность нового периода в истории геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых "геометрий" и в соответствующем обобщении предмета. Возникает понятие о разного рода "пространствах". При этом одни теории складывались внутри евклидовой геометрии в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение.
В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и которые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. В 20 в. топология развилась в самостоятельную дисциплину.
Так Геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и так далее) и фигуры в этих пространствах.
КЛАССИФИКАЦИЯ РАЗДЕЛОВ ГЕОМЕТРИИ
Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей "Эрлангенской программе" (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.
Евклидова геометрия — система геометрии, основанная на аксиомах, сформулированных в книге Евклида "Начала". Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы считались абсолютной истиной в применении к физическому миру на протяжении почти 2000 лет. Только в XIX в. было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах.
Основные открытия геометрических систем, в которых аксиомы Евклида не верны, были сделаны Николаем Ивановичем Лобачевским и Георгом Риманом. О них говорят как о создателях неевклидовой геометрии. Наиболее поразительной чертой неевклидовой геометрии является тот факт, что две прямые линии, параллельные в одной части пространства, могут пересечься в другой. Альберт Эйнштейн, разрабатывая общую теорию относительности, пришел к выводу, что геометрия Вселенной, в которой мы живем, является неевклидовой. Однако Евклидова геометрия по-прежнему остается справедливой при описании систем и явлений, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни.
В евклидову геометрию входят также подразделы: планиметрия — раздел геометрии, исследующий фигуры на плоскости, и стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные свойства фигур. Отличается от евклидовой геометрии тем, что в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку. Тесно связанная с перспективой, проективная геометрия плоскости занимается изучением свойств и отношений, которые остаются неизменными при проецировании плоской фигуры на другую плоскость.
Считается очевидным факт, что две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие общий перпендикуляр, параллельны, т.е. не пересекутся, как бы далеко их ни продолжали. Однако если посмотреть на железнодорожные рельсы, являющиеся параллельными прямыми, то безусловно покажется, что они пересекаются на горизонте. Предположив, что любые две прямые пересекаются, получаем систему утверждений, столь же логически непротиворечивую, как и отличная от нее система утверждений евклидовой.
Плоская проективная геометрия занимается изучением геометрических свойств, не меняющихся при центральном проецировании. Примером такого проецирования может служить тень от абажура лампы, падающая на стену или на пол. Обычно световое пятно имеет круглую или эллиптическую форму на полу и гиперболическую — на стене. Таким образом, в проективной геометрии нет привычного различия между окружностью, эллипсом, параболой и гиперболой; это просто конические сечения, подобные друг другу. Если художник рисует кафельный пол на вертикальном холсте, квадратные плитки уже не кажутся квадратами, так как их стороны и углы искажаются, но линии, на которых лежат стороны, остаются прямыми. Поэтому проективная геометрия имеет дело с треугольниками, четырехугольниками, но не с прямоугольными треугольниками, параллелограммами и так далее.
Аффинная геометрия (лат. affinis — родственный) – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур, сохраняющиеся при любых аффинных преобразованиях, или, что равносильно, при параллельной проекции.
К понятиям аффинной геометрии относятся такие, как параллельность, параллелограмм, средняя линия, параллелепипед, к аффинным фактам – теорема Фалеса, теорема о пересечении медиан треугольника, теорема об отношении площадей треугольников с общим углом и другие. Напротив, такие понятия, как перпендикулярность, ромб, биссектриса, прямой угол, окружность в аффинной геометрии смысла не имеют. Можно сказать, что к аффинной геометрии принадлежат те геометрические объекты и свойства, которые описываются через понятия точка, прямая, плоскость, параллельность, простое отношение трех коллинеарных точек, или отношение, в котором точка делит отрезок, отношение площадей фигур, отношение объемов.
Аффинную геометрию можно также определить как раздел геометрии, изучающий свойства аффинной плоскости или аффинного пространства, которые, в свою очередь, определяются аксиоматически.
Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, представляющие собой совокупность точек, линий, поверхностей, изучаются по их проекционным изображениям на плоскости (или какой-либо другой поверхности).
Основными задачами начертательной геометрии являются: создание метода изображения геометрических фигур на плоскости (поверхности) и разработка способов решения позиционных и метрических задач, связанных с этими фигурами, при помощи их изображений на плоскости (поверхности);
Начертательная геометрия является теоретической базой для составления чертежа. Решение задач способами начертательной геометрии осуществляется графическим путем. Простейшей геометрической операцией, которую приходится выполнять в процессе решения, является определение точки пересечения двух линий. Вследствие того, что все геометрические построения осуществляются с помощью только линейки и циркуля, линиями, точку пересечения которых следует определять, являются прямые и окружности. Иными словами, путем проведения отрезков прямых и дуг окружностей (в редких случаях участков лекальных кривых) в определенной последовательности, устанавливаемой теоремами и правилами начертательной геометрии, можно решать сложные задачи из различных областей науки и техники.
Возможность расчленения процесса решения задач на выполнение элементарных, однотипных операций позволяет получить итерационные способы решения задач, которые легко и естественно могут быть автоматизированы с помощью вычислительной техники. Использование начертательной геометрии является рациональным при конструировании сложных поверхностей технических форм с наперед заданными параметрами, применяемых в авиационной и автомобильной промышленности, при создании корпусов судов и судовых движителей и во многих других областях техники. Достижения многомерной начертательной геометрии находят применение при исследовании диаграмм состояния многокомпонентных систем и сплавов в тех случаях, когда другие способы исследования оказываются чрезвычайно сложными и не обеспечивают требуемой точности.
Многомерная геометрия — геометрия пространств размерности, большей трех. Термин применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трех измерений и только потом обобщена на большее число измерений. В настоящее время разделение трехмерной и многомерной геометрий имеет главным образом историческое и педагогическое значение, так как задачи ставятся и решаются для любого числа измерений, когда и поскольку это осмысленно.
Исторически представление о более чем трехмерном пространстве зарождалось постепенно, первоначально на почве геометрического представления степеней: а2 — "квадрат", а3 — "куб", но а4, а5 и так далее уже не имеют наглядного представления, поэтому говорили, что а4 — "биквадрат", а5 — "кубо-квадрат" и так далее.
Неевклидова геометрия — самодостаточная геометрия, которая использует набор аксиом, отличных от аксиом евклидовой геометрии, в частности, не включает постулата о параллельных прямых. Пятый постулат Евклида представляет собой утверждение, что если точка лежит вне прямой, то через эту точку можно провести только одну прямую, не пересекающую первую прямую. В начале XIX в. Янош Больяи и, независимо от него, Николай Иванович Лобачевский разработали геометрические системы, в которых могло бы существовать бесконечное число параллельных прямых. Эта система, называемая гиперболической неевклидовой геометрией, была самодостаточной; это значит, что в ней нет неустранимых противоречий с результатами, полученными на основании постулатов. Позже Георг Риман предложил систему (эллиптическую геометрию), в которой не может существовать ни одной параллельной прямой. Разработки этих систем проливают свет на фундаментальную природу геометрии. Неевклидова теория также используется в теории относительности.
ССЫЛКИ:
— словари и энциклопеции;
— начертательная геометрия;
— история геометрии;
— развитие геометрии.