Что такое дискриминант квадратного уравнения?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Уравнение с вещественными коэффициентами
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a, b, c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения D = b² – 4ac, называемого дискриминантом квадратного уравнения, поскольку от его значения зависит количество корней уравнения:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формулам:

x₁ = (–b + √D)/2a,
x₂ = (–b – √D)/2a,

 

где √ означает квадратный корень

• при D = 0 корень один: 

x = –b/2a.

• при D < 0 вещественных корней нет.

Вместо первой пары формул для нахождения корней можно использовать эквивалентные выражения:

x₁ = (–k + √(k² – ac))/a,
x₂ = (–k + √(k² – ac))/a,

где k = b/2. Это выражение удобно для практических вычислений при четном значении b, т. е. для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

Уравнение в комплексной области 

На множестве комплексных чисел квадратное уравнение с комплексными (в общем случае) коэффициентами всегда имеет два корня, вычисляемые по приведенной выше паре формул. При D = 0 эти корни совпадают и образуют так называемый кратный корень уравнения.

Теорема Виета
Сумма корней приведённого квадратного уравнения вида x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

x₁ + x₂ = –p,
x₁ · x₂ = q.

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

x₁ + x₂ = –b/a,
x₁ · x₂ = c/a.

Источники: 

• Решение квадратных уравнений on-line
• Квадратное уравнение — Википедия

Дополнительно на Геноне:

• Как решить линейное уравнение?
• Как выглядит уравнение окружности?
• Что такое арифметический квадратный корень?