Какие есть формулы сокращенного умножения?

• Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй:
  (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй:
  (a – b)² = a² – 2ab + b².
• Разность квадратов двух величин равна произведению их суммы на разность: 
  a² – b² = (a + b)(a – b).
• Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй:
  (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
• Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй:
  (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.
• Сумма кубов двух величин равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности:
  (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³.
• Разность кубов двух величин равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы:
  (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³.
• Квадрат суммы трех числел равен сумме их квадратов плюс удвоенная сумма попарных произведений:
  (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.

Все формулы сокращенного умножения доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Пример 1. Докажите формулу a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²).

Решение.  Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:

(a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + ba² – ab² – b³ = a³ + b³,

что и доказывает нужную формулу.

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить при помощи формул сокращенного умножения. Чтобы быстро находить требуемые преобразования, формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пример 2. Упростите выражение (2x³ – 5z)(2x³ + 5z).

Решение. Пользуясь формулой разности квадратов, получаем:

(2x³ – 5z)(2x³ + 5z) = (2x³)² – (5z)² = 4x⁶ – 25z².

 Источники: 

• calc.ru — формулы сокращенного умножения
• ankolpakov.ru — формулы сокращенного умножения и другие полезные алгебраические тождества (А.Н. Колпаков)
• dink.ru — формулы сокращенного умножения
• uztest.ru — формулы сокращенного умножения

Дополнительно от Генона: 

• Как определяется умножение натуральных чисел? 
• Как вычислить объем куба?
• Как найти площадь круга? 
• Чему равна площадь прямоугольного треугольника?