Как доказать теорему Пифагора?

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Формулировка теоремы: Во всяком прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b, получаем следующее равенство:

a² + b² = c²

Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, позволяющее определить сторону прямоугольного треугольника по двум другим.

Также верно обратное утверждение (называемое обратной теоремой Пифагора):
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой что a² + b² = c², существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Видеоурок с доказательством теоремы Пифагора.

Доказательство

Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство основанное на теореме существования площади фигуры:

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на этом рисунке.
2. Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов равна 90°, а развернутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a + b), а с другой стороны сумме площадей четырех прямоугольных треугольников и внутреннего квадрата.

(a + b)² = 4·(ab/2) + c² (с учетом формулы для площади прямоугольного треугольника)
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
c² = a² + b²

Что и требовалось доказать.

Обобщения 

Для произвольных треугольников верна теорема косинусов, являющаяся обощением теоремы Пифагора:

a² = b² + c² − 2 b c cos α, 

где α — угол между сторонами b и c.

В прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости теорема Пифагора позволяет вычислить квадрат расстояния R между двумя точками a и b с известными координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

R² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

Эта формула допускает обобщение на трехмерное пространство:

R² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²,

а также на n-мерное пространство:

R² = ∑_i=1,...,n(a_i − b_i)²,

в котором точки a и b имеют соответственно координаты (a₁, ..., a_n) и (b₁, ..., b_n).

Источник: Википедия

Ссылки:

• Сайт, посвященный теореме Пифагора
• Некоторые доказательства теоремы Пифагора

Дополнительно от Генона: 

• Какова биография Пифагора? 
• Как найти площадь прямоугольного треугольника?
• Как найти площадь произвольного треугольника?
• Как доказать теорему косинусов?