Вычисление определенных интегралов. Расчет определенного интеграла путем вычисления первообразной.
Функции 
являются непрерывными. Но если функция f(x) сама является непрерывной, тогда эти функции являются дифференцируемыми, причем их производные равны f(x) и "– f(x)", соответственно.
Таким образом, с одной стороны, у всякой непрерывной функции имеется первообразная, и чтобы найти ее достаточно вычислить определенный интеграл от этой функции с переменным верхним пределом. А с другой стороны, чтобы вычислить определенный интеграл, достаточно знать первообразную функцииб которую мы хотим проинтегрировать.
Т. (Формула Ньютона-Лейбница.) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], а H(x) -- какая-нибудь ее первообразная, тогда :
Поскольку 
, то F(x) – первообразная функции f, а поскольку две первообразные отличаются лишь на константу, то F(x) = H(x) + C,
и далее, поскольку 
, то С = – H(a).
Следовательно, F(b) = H(b) – H(a) .
Поскольку f является производной H, то формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде :
т.е. интеграл от производной равен разности значений функции в концах отрезка интегрирования.
Формулу Ньютона-Лейбница можно применять к кусочно непрерывным функциям, обладающим кусочной первообразной. Так можно сделать по той причине, что определенный интеграл обладает свойством аддитивности.
Остается лишь отметить, что :
Основное назначение формулы Ньютона-Лейбница – вычисление определенного интеграла через неопределенный. Т.е. чтобы вычислить определенный интеграл функции на отрезке [ a, b ], сначала вычисляют неопределенный интеграл, а затем берут какую-нибудь первообразную и подставляют в нее значения b и a.
Источник информации:
Дополнительная информация:
- genon.ru - Что такое определенный и неопределенный интегралы?