Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами (а, b, c), которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины (A, B, C).
Если в треугольнике все три угла острые, то это остроугольный треугольник.
Если в треугольнике один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.
Если в треугольнике один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник.
Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны; эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.
Основные свойства треугольников
В любом треугольнике:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180º .
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
треугольнике равен 60º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний
угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
их разности.
Признаки равенства треугольников.
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
a) две стороны и угол между ними;
b) два угла и прилегающая к ним сторона;
c) три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника — снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Медиана — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойство медианы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Биссектриса — это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Срединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности. В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном — снаружи; в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанной и центр вписанной окружности совпадают только в равностороннем треугольнике.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. c 2 = a 2 + b 2 .
Доказательства теоремы Пифагора можно посмотреть .
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательства теоремы синусов и теоремы косинусов можно посмотреть .
Теорема о сумме углов в треугольнике. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Источники:
Дополнительно на Геноне: