Степенной функцией называют функцию вида:
f(x) = k·xa,
где коэффициент k и показатель a — вещественные (действительные) постоянные.
Степенная функция с целым показателем
Особый интерес представляют частные случаи степенной функции при целых положительных значениях a. При четном положительном показателе a степенная функция определена на всей вещественной оси и является четной (значение не меняется при изменении знака аргумента). Она строго убывает при x≤0 и строго возрастает при x≥0.
Пример: функция f(x) = x2, имеющая график в форме параболы.
При нечетном положительном показателе a степенная функция определена на всей вещественной оси и является нечетной (меняет знак при изменении знака аргумента x). Она строго возрастает на всей вещественной оси.
Примеры: f(x) = kx — прямая пропорциональность, f(x) = x3 — кубическая зависимость, имеющая график в форме кубической параболы с точкой перегиба при x=0.
При целых отрицательных значениях показателя a степенная функция kxa = k/x–a определена на всей вещественной оси кроме точки x=0, где она имеет неустранимый разрыв. Причем в случае четного показателя a функция всегда положительна и стремится к +∞ при x → 0, а в случае, если значение показателя a нечетное, f(x) → –∞ при x стремящемся к нулю снизу (x → –0), и f(x) → +∞ при x стремящемся к нулю сверху (x → +0).
Пример: функция f(x) = x–1 = 1/x, имеющая график в форме гиперболы.
Степенная функция с рациональным показателем
Степенная функция с показателем, обратным натуральному числу, эквивалентна взятию корня соответствующей знаменателю степени: kx1/n = k·n√х. Такая функция определена на всей вещественной оси для нечетных n и только в неотрицательной области для четных n.
Пример: функция f(x) = x1/2 = √х.
При рациональных значениях показателя a, то есть представимых в виде несократимой дроби a = m/n, где m — целое число, а n — , степенная функция вычисляется последовательным излечением корня степени n и возведением результата в степень m: kxm/n = kxm·1/n = k·(x1/n)m= k·(n√х)m. В области x<0 такая степненная функция с рациональным определена только при нечетных значениях знаменателя n.
Пример: функция f(x) = x1,5 = x3/2 = (√х)3.
Степенная функция с вещественным показателем
Это создает довольно интересную ситуацию, при которой сколь угодно малое изменение показателя может менять область определения функции. И в то же время для любого значения m/n с четным n, при котром степенная функция не определена в области x<0, можно подобрать сколь угодно близкую функцию с нечетным знаменателем в показателе степени. Построив последовательность рациональных чисел с нечетными знаменателями, сходящуюся в пределе к m/n с четным n, можно восполнить значения степенной функции kxm/n в том числе на для отрицательных значений x. Аналогично можно определить значение степенной функции для любого вещественнгого числа, в том числе иррационального, то есть непредставимого в виде дроби m/n. Данный прием называется степенной функции с рациональным показателем на множество вещественных чисел. Областью определения такой аналитически продолженной степенной функции при любом положительном показателе a является вся вещественная ось (–∞; +∞), а при любом отрицательном вся ось кроме точки (–∞; 0) U (0; +∞).
Чтобы не сталкиваться с этими трудностями для практических нужд обычно ограничиваются рассмотрением степенной функции на неотрицательной части вещественной оси: [0; +∞).
Ссылки на источники основной и дополнительной информации:
См. также на Геноне: