Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника часто обозначаются маленькими буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые.
Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов тупой.
Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен 90°; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.
Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две его стороны равны (a = c); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника.
Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все его стороны равны (a = b = c). Если в треугольнике не равна ни одна из его сторон (abc), то это неравносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников
В любом треугольнике:
- Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
- Сумма углов треугольника равна 180°.
- Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
- Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности (a < b + c, a > b — c; b < a + c, b > a — c; c < a + b, c > a − b).
Признаки равенства треугольников
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
- две стороны и угол между ними;
- два угла и прилегающая к ним сторона;
- три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
- равны их катеты;
- катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
- гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
- катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
- катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника — снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Медиана — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса — это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Срединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.
В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника, в тупоугольном — снаружи, в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Доказательство теоремы Пифагора
Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b. Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2. С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
отсюда,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
и окончательно имеем:
c 2 = a 2 + b 2 .
Соотношение сторон в произвольном треугольнике
В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:
c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab * cos C,
где С — угол между сторонами а и b.
Ссылки:
Дополнительно на Геноне: